Question

10．已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，前n項和為S_n，且S_n+1=2S_n+n+1（n∈N^*）
（1）證明數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{na_n+n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)a_n+1=S_n+1-S_n，得到n≥2時a_n+1和a_n關系式即a_n+1=2a_n+1，兩邊同加1得到a_n+1+1=2（a_n+1），最后驗證n=1時等式也成立，進而證明數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）利用錯位相減法求數(shù)列{na_n+n}的前n項和T_n．

解答 證明：（1）由已知，${S_{n+1}}=2{S_n}+n+1\;（n∈{N^*}）$
當n≥2時，S_n=2S_n-1+n
兩式相減得，a_n+1=2a_n+1，
于是a_n+1+1=2（a_n+1），n≥2
當n=1時，S₂=2S₁+n+1，
即a₁+a₂=2a₁+1+1，
∴a₂=3
此時a₂+1=2（a₁+1），且a₁+1=2≠0
所以，數(shù)列{a_n+1}是首項為a₁+1=2，公比為2的等比數(shù)列
所以，${a_n}+1=2•{2^{n-1}}$，
即${a_n}={2^n}-1\;（n∈{N^*}）$…（6分）
解：（2）令c_n=na_n+n，則${c_n}=n•{2^n}$，于是
$\begin{array}{l}{T_n}=1•{2^1}+2•{2^2}+…+n•{2^n}\\ 2{T_n}=\;1•{2^2}+…+（n-1）•{2^n}+n•{2^{n+1}}\end{array}$
兩式相減得，$-{T_n}=2+{2^2}+…+{2^n}-n•{2^{n+1}}=\frac{{2（{2^n}-1）}}{2-1}-n•{2^{n+1}}=（1-n）•{2^{n+1}}-2$…（12分）
∴${T_n}=（n-1）•{2^{n+1}}+2$．（14分）

點評 本題主要考查了數(shù)列中等比關系的確定，考查錯位相減法求數(shù)列的和，屬于中檔題．