Question

7．已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，首項a₁=5，公差d=-1，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，b₂=1，公比為q（q＞0），c_n=a_nb_n，S_n為{c_n}的前n項和，記S_n=c₁+c₂+..+c_n．
（Ⅰ）求b₁+b₂+b₃的最小值；
（Ⅱ）求S₁₀；
（Ⅲ）求出使S_n取得最大的n的值．

Answer 1

分析 （I）b₁+b₂+b₃=q^-1+1+q，（q＞0），利用基本不等式的性質(zhì)即可得出最小值．
（II）由題意知：${a_n}=-n+6，{b_n}={q^{n-2}}$，可得 ${c_n}=（-n+6）{q^{n-2}}$，利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的求和公式即可得出．
（III）令${c_n}=（-n+6）{q^{n-2}}≥0$，解得n即可得出．

解答 解：（I）b₁+b₂+b₃=q^-1+1+q≥2+1=3，（q＞0），∴最小值為3．
（II）由題意知：${a_n}=-n+6，{b_n}={q^{n-2}}$，∴${c_n}=（-n+6）{q^{n-2}}$，
${S_{10}}=5{q^{-1}}+4+3q+2{q^2}+…+（-4）{q^8}$，
$q{S_{10}}=5+4q+3{q^2}+2{q^3}+…+（-4）{q^9}$，
∴$（1-q）{S_{10}}=5{q^{-1}}-（1+q+{q^2}+…+{q^8}）+4{q^9}$，
當(dāng)q=1 時，S₁₀=5．
當(dāng)q≠1 時，（1-q）S₁₀=$5{q^{-1}}-\frac{{（1-{q^9}）}}{1-q}+4{q^9}$，
${S_{10}}=\frac{5}{（1-q）q}-\frac{{（1-{q^9}）}}{{{{（1-q）}^2}}}+\frac{{4{q^9}}}{（1-q）}$．
（III）令${c_n}=（-n+6）{q^{n-2}}≥0$，
解得：n≤6，∴n取5或6時，S_n 最大．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、求和公式、“錯位相減法”，考查了分類討論思想、推理能力與計算能力，屬于中檔題．