Question

1．關于x的不等式xlnx-kx＞3對任意x＞1恒成立，則整數k的最大為（　�。�

• A． -1
• B． -2
• C． -3
• D． -4

Answer 1

分析 把不等式xlnx-kx＞3對任意x＞1恒成立轉化為k＜$\frac{xlnx-3}{x}$對任意x＞1恒成立，利用導數求出函數f（x）=$\frac{xlnx-3}{x}$的最小值得答案．

解答 解：關于x的不等式xlnx-kx＞3對任意x＞1恒成立，
即kx＜xlnx-3對任意x＞1恒成立，
也就是k＜$\frac{xlnx-3}{x}$對任意x＞1恒成立．
令f（x）=$\frac{xlnx-3}{x}$，則f′（x）=$\frac{（lnx+1）x-xlnx+3}{{x}^{2}}=\frac{x+3}{{x}^{2}}$（x＞1）．
∵f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）在（1，+∞）上為增函數，
則f（x）＞f（1）=-3．
∴k≤-3．
故選：C．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調區(qū)間，考查了數學轉化思想，解答此題的關鍵是利用導數求最值，是中檔題．