Question

5．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，AD=3，CD=2，$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{MD}$，若$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BM}$=-3，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)∠DAB=θ，根據(jù)$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BM}$=（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{CD}$）（$\overrightarrow{AM}$-$\overrightarrow{AB}$）=（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{CD}$）（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$）=3，化簡(jiǎn)計(jì)算求出cosθ=$\frac{1}{8}$，再根據(jù)向量數(shù)量積公式計(jì)算即可．

解答 解：設(shè)∠DAB=θ，
∵AB∥CD，
∴∠D=180°-θ
∵$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{MD}$，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BM}$=（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{CD}$）（$\overrightarrow{AM}$-$\overrightarrow{AB}$），
=（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{CD}$）（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$），
=$\frac{2}{3}$|$\overrightarrow{AD}$|²-$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{AB}$，
=$\frac{2}{3}$|$\overrightarrow{AD}$|²-|$\overrightarrow{AD}$|•|$\overrightarrow{AB}$|cosθ-$\frac{2}{3}$|$\overrightarrow{CD}$|•|$\overrightarrow{AD}$|cos（180°-θ）+|$\overrightarrow{CD}$|•|$\overrightarrow{AB}$|cos180°，
=$\frac{2}{3}$×3²-3×4cosθ+$\frac{2}{3}×$2×3cosθ-2×4
=-2-8cosθ=-3，
∴cosθ=$\frac{1}{8}$，
∴$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$=|$\overrightarrow{AD}$|•|$\overrightarrow{AB}$|cosθ=3×4×$\frac{1}{8}$=$\frac{3}{2}$，
故答案為：$\frac{3}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算和向量的加減的幾何意義，屬于中檔題．