Question

20．某理科考生參加自主招生面試，從7道題中（4道理科題3道文科題）不放回地依次任取3道作答．
（1）求該考生在第一次抽到理科題的條件下，第二次和第三次均抽到文科題的概率；
（2）規(guī)定理科考生需作答兩道理科題和一道文科題，該考生答對理科題的概率均為$\frac{2}{3}$，答對文科題的概率均為$\frac{1}{4}$，若每題答對得10分，否則得零分．現(xiàn)該生已抽到三道題（兩理一文），求其所得總分X的分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）利用條件概率公式，即可求該考生在第一次抽到理科題的條件下，第二次和第三次均抽到文科題的概率；
（2）確定X的可能取值，利用概率公式即可得到總分X的分布列，代入期望公式即可．

解答 解：（1）記“該考生在第一次抽到理科題”為事件A，“該考生第二次和第三次均抽到文科題”為事件B，則P（A）=$\frac{4}{7}$，P（AB）=$\frac{4}{35}$．…（2分）
∴該考生在第一次抽到理科題的條件下，第二次和第三次均抽到文科題的概率為P（B|A）=$\frac{1}{5}$．…（5分）
（2）X的可能取值為：0，10，20，30，
則P（X=0）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}$=$\frac{1}{12}$，P（X=10）=${C}_{2}^{1}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}$+$（\frac{1}{3}）^{2}×\frac{1}{4}$=$\frac{13}{36}$，
P（X=20）=${C}_{2}^{2}×（\frac{2}{3}）^{2}×\frac{3}{4}+{C}_{2}^{1}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{4}{9}$，
P（X=30）=1-$\frac{1}{12}$-$\frac{13}{36}$-$\frac{4}{9}$=$\frac{1}{9}$．…（9分）
∴X的分布列為

X	0	10	20	30
p	$\frac{1}{12}$	$\frac{13}{36}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{1}{9}$

…（10分）
∴X的數(shù)學(xué)期望為EX=0×$\frac{1}{12}$+10×$\frac{13}{36}$+20×$\frac{4}{9}$+30×$\frac{1}{9}$=$\frac{95}{6}$．…（12分）

點(diǎn)評 此題考查了獨(dú)立事件，條件概率的概率公式，隨機(jī)變量的分布列及其期望，重點(diǎn)考查了學(xué)生對于題意的正確理解及準(zhǔn)確的計(jì)算能力．