Question

20．如圖，在三棱錐P-ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)，已知PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB=BC．
（1）求證：平面BED⊥平面PAC；
（2）求二面角F-DE-B的大��；
（3）若PA=6，DF=5，求PC與平面PAB所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）通過證明BE⊥平面PAC得出平面BED⊥平面PAC；
（2）由DE∥PA得出DE⊥平面ABC，故DE⊥EF，DE⊥BE，于是∠FEB為所求二面角的平面角，根據(jù)△BEF為等腰直角三角形得出二面角的度數(shù)；
（3）證明BC⊥平面PAB得出∠CPB為所求角，利用勾股定理得出BC，PB即可得出tan∠CPB．

解答 證明：（1）∵PA⊥平面ABC，BE?平面ABC，
∴PA⊥BE．
∵AB=BC，E為AC的中點(diǎn)，
∴BE⊥AC，
又PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC=A，
∴BE⊥平面PAC，又BE?平面BED，
∴平面BED⊥平面PAC．
（2）∵D，E是PC，AC的中點(diǎn)，
∴DE∥PA，又PA⊥平面ABC，
∴DE⊥平面ABC，∵EF?平面ABC，BE?平面ABC，
∴DE⊥EF，DE⊥BE．
∴∠FEB為二面角F-DE-B的平面角．
∵E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，AB=AC，
∴EF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB=BF，EF∥BC．
又AB⊥BC，∴BF⊥EF，
∴△BEF為等腰直角三角形，∴∠FEB=45°．
∴二面角F-DE-B為45°．
（3）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA?平面PAB，AB?平面PAB，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB．
∴∠CPB為直線PC與平面PAB所成的角．
∵PA=6，∴PE=$\frac{1}{2}PA$=3，又DF=5，∴EF=$\sqrt{D{F}^{2}-D{E}^{2}}$=4．
∴AB=BC=8．
∴PB=$\sqrt{P{A}^{2}+A{B}^{2}}$=10．
∴tan∠CPB=$\frac{BC}{PB}$=$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直，面面垂直的判定，空間角的計(jì)算，做出空間角是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．