Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosx，sinx），$\overrightarrow$=（cosx，cosx+sinx）．設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的數(shù)量積的運算和二倍角公式以及兩角和的正弦公式即可求出，
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2cos²x+sinxcosx+sin²x=cos²x+sinxcosx+1
=$\frac{1}{2}$（1+cos2x）+$\frac{1}{2}$sin2x+1=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{3}{2}$，
（2）由0≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，
∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴1≤f（x）≤$\frac{3+\sqrt{2}}{2}$，
即最大值為$\frac{3+\sqrt{2}}{2}$，最小值為1．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積，三角函數(shù)的最值，考查學(xué)生計算能力，是中檔題．