Question

14．已知數(shù)列{a_n}的前n項和是S_n，且S_n+$\frac{1}{2}$a_n=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記b_n=log${\;}_{\frac{1}{3}}$$\frac{{a}_{n}}{2}$，求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}_{n+2}}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）分類討論n=1與n≥2，從而求得數(shù)列{a_n}是以$\frac{2}{3}$為首項，$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列，從而解得；
（2）化簡b_n=log${\;}_{\frac{1}{3}}$$\frac{{a}_{n}}{2}$=n，從而利用裂項化簡$\frac{1}{_{n}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），從而求前n項和．

解答 解：（1）當n=1時，S₁+$\frac{1}{2}$a₁=1，
解得，a₁=$\frac{2}{3}$；
當n≥2時，由S_n+$\frac{1}{2}$a_n=1，S_n-1+$\frac{1}{2}$a_n-1=1，
兩式作差得：a_n=$\frac{1}{3}$a_n-1，
故數(shù)列{a_n}是以$\frac{2}{3}$為首項，$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列，
其通項公式為a_n=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{{3}^{n-1}}$=$\frac{2}{{3}^{n}}$；
（2）∵b_n=log${\;}_{\frac{1}{3}}$$\frac{{a}_{n}}{2}$=n，
∴$\frac{1}{_{n}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
故T_n=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{1+n}$）+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）]
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{1+n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

點評 本題考查了數(shù)列的通項公式的求法及對數(shù)運算的應(yīng)用，同時考查了裂項求和法的應(yīng)用．