分析 f(x)解析式利用兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn),整理得到結(jié)果,g(x)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)得到結(jié)果,
(Ⅰ)根據(jù)y=f(x)+g(x),確定出y與x解析式,利用正弦函數(shù)的單調(diào)性確定出y的單調(diào)遞減區(qū)間即可;
(Ⅱ)由f(A)的值,確定出sinA的值,進(jìn)而求出cosA的值,利用余弦定理列出關(guān)系式,把cosA與a的值代入,并利用基本不等式求出bc的最大值,即可確定出面積的最大值.
解答 解:f(x)=sinxcos$\frac{π}{6}$+cosxsin$\frac{π}{6}$-cosxcos$\frac{π}{3}$+sinxsin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$sinx,g(x)=1-cosx,
(Ⅰ)y=f(x)+g(x)=$\sqrt{3}$sinx-cosx+1=2sin(x-$\frac{π}{6}$)+1,
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$(k∈Z),得2kπ+$\frac{2π}{3}$≤x≤2kπ+$\frac{5π}{3}$(k∈Z)
則y=f(x)+g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[2kπ+$\frac{2π}{3}$,2kπ+$\frac{5π}{3}$](k∈Z);
(Ⅱ)∵f(A)=$\sqrt{3}$sinA=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$,
∴sinA=$\frac{\sqrt{15}}{4}$,
又∵A為銳角,
∴cosA=$\frac{1}{4}$,
又∵a=$\sqrt{5}$,
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{^{2}+{c}^{2}-5}{2bc}$=$\frac{1}{4}$,
∴b2+c2=5+$\frac{1}{2}$bc≥2bc,
∴bc≤$\frac{10}{3}$,當(dāng)且僅當(dāng) b=c=$\frac{{3\sqrt{10}}}{3}$時(shí),bc取得最大值,
∴△ABC的面積最大值為$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{5\sqrt{15}}{12}$.
點(diǎn)評(píng) 此題考查了余弦定理,兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式,正弦函數(shù)的單調(diào)性,以及三角形面積公式,熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵.
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