9.已知函數(shù)$f(x)=sin(x+\frac{π}{6})-cos(x+\frac{π}{3}),g(x)=2{sin^2}\frac{x}{2}$.
(Ⅰ)求函數(shù)y=f(x)+g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)在△ABC中,A為銳角,且角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,若$a=\sqrt{5}$,$f(A)=\frac{{3\sqrt{5}}}{4}$,求△ABC面積的最大值.

分析 f(x)解析式利用兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn),整理得到結(jié)果,g(x)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)得到結(jié)果,
(Ⅰ)根據(jù)y=f(x)+g(x),確定出y與x解析式,利用正弦函數(shù)的單調(diào)性確定出y的單調(diào)遞減區(qū)間即可;
(Ⅱ)由f(A)的值,確定出sinA的值,進(jìn)而求出cosA的值,利用余弦定理列出關(guān)系式,把cosA與a的值代入,并利用基本不等式求出bc的最大值,即可確定出面積的最大值.

解答 解:f(x)=sinxcos$\frac{π}{6}$+cosxsin$\frac{π}{6}$-cosxcos$\frac{π}{3}$+sinxsin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$sinx,g(x)=1-cosx,
(Ⅰ)y=f(x)+g(x)=$\sqrt{3}$sinx-cosx+1=2sin(x-$\frac{π}{6}$)+1,
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$(k∈Z),得2kπ+$\frac{2π}{3}$≤x≤2kπ+$\frac{5π}{3}$(k∈Z)
則y=f(x)+g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[2kπ+$\frac{2π}{3}$,2kπ+$\frac{5π}{3}$](k∈Z);
(Ⅱ)∵f(A)=$\sqrt{3}$sinA=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$,
∴sinA=$\frac{\sqrt{15}}{4}$,
又∵A為銳角,
∴cosA=$\frac{1}{4}$,
又∵a=$\sqrt{5}$,
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{^{2}+{c}^{2}-5}{2bc}$=$\frac{1}{4}$,
∴b2+c2=5+$\frac{1}{2}$bc≥2bc,
∴bc≤$\frac{10}{3}$,當(dāng)且僅當(dāng) b=c=$\frac{{3\sqrt{10}}}{3}$時(shí),bc取得最大值,
∴△ABC的面積最大值為$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{5\sqrt{15}}{12}$.

點(diǎn)評(píng) 此題考查了余弦定理,兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式,正弦函數(shù)的單調(diào)性,以及三角形面積公式,熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵.

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20.某校為了豐富學(xué)生的課余生活,決定在每周的星期二、星期四的課外活動(dòng)期間同時(shí)開設(shè)先秦文化、趣味數(shù)學(xué)、國(guó)學(xué)和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)講座,每位同學(xué)參加每個(gè)講座的可能性相同.若參加講座的人數(shù)達(dá)到預(yù)先設(shè)定的人數(shù)時(shí)稱為滿座,否則稱為不滿座,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明,各講座的概率如表:
 星期 先秦文化 趣味數(shù)學(xué) 國(guó)學(xué) 網(wǎng)絡(luò)技術(shù)
 星期二 $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$
 星期四 $\frac{2}{3}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$
根據(jù)上表:
(1)求趣味數(shù)學(xué)講座在星期二、星期四都不滿座的概率;
(2)設(shè)星期四各講座滿座的科目為ξ,求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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17.設(shè)集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|x=1},則A∩B子集的個(gè)數(shù)是( 。
A.1B.2C.3D.4

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4.設(shè)函數(shù)$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{3^x},x≤0\\{log_4}x,x>0\end{array}\right.$,若關(guān)于x的方程af2(x)-f(x)=0恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(  )
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A.1B.iC.-iD.-1

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(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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18.若一個(gè)數(shù)列各項(xiàng)取倒數(shù)后按原來(lái)的順序構(gòu)成等差數(shù)列,則稱這個(gè)數(shù)列為調(diào)和數(shù)列.已知數(shù)列{an}是調(diào)和數(shù)列,對(duì)于各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列{xn},滿足x1=2,x1+x2+x3=14,${({x}_{n})}^{{a}_{n}}$=${({x}_{n+1})}^{{a}_{n+1}}$=${({x}_{n+2})}^{{a}_{n+2}}$(x∈N+),則數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式為2n

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12.在四面體S-ABC中,SA⊥平面ABC,∠BAC=120°,SA=AC=2,AB=1,則該四面體外接球的表面積是$\frac{40}{3}$π.

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