Question

18．若一個數(shù)列各項(xiàng)取倒數(shù)后按原來的順序構(gòu)成等差數(shù)列，則稱這個數(shù)列為調(diào)和數(shù)列．已知數(shù)列{a_n}是調(diào)和數(shù)列，對于各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列{x_n}，滿足x₁=2，x₁+x₂+x₃=14，${（{x}_{n}）}^{{a}_{n}}$=${（{x}_{n+1}）}^{{a}_{n+1}}$=${（{x}_{n+2}）}^{{a}_{n+2}}$（x∈N⁺），則數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式為2ⁿ．

Answer 1

分析 由題設(shè)條件知a_nlgx_n=a_n+1lgx_n+1=a_n+2lgx_n+2．設(shè)a_nlgx_n=a_n+1lgx_n+1=a_n+2lgx_n+2=p，有$\frac{2p}{{a}_{n+1}}$=$\frac{p}{{a}_{n}}$+$\frac{p}{{a}_{n+2}}$，由此導(dǎo)出x_n+1²=x_nx_n+2，所以數(shù)列{x_n}是等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的定義，求出通項(xiàng)即可．

解答 解：∵數(shù)列{x_n}中各項(xiàng)都是正數(shù)，
∴a_nlgx_n=a_n+1lgx_n+1=a_n+2lgx_n+2．
設(shè)a_nlgx_n=a_n+1lgx_n+1=a_n+2lgx_n+2=p，
∴$\frac{p}{{a}_{n}}$=lgx_n，$\frac{p}{{a}_{n+1}}$=lgx_n+1，$\frac{p}{{a}_{n+2}}$=lgx_n+2，
∵{a_n}的各項(xiàng)取倒數(shù)后按原來順序構(gòu)成等差數(shù)列，故a_n≠0，
∴$\frac{2p}{{a}_{n+1}}$=$\frac{p}{{a}_{n}}$+$\frac{p}{{a}_{n+2}}$．
∴2lgx_n+1=lgx_n+lgx_n+2，
∴l(xiāng)gx_n+1²=lg（x_nx_n+2）．
∴x_n+1²=x_nx_n+2，
∴數(shù)列{x_n}是等比數(shù)列．
設(shè){x_n}的公比為q，x₁+x₂+x₃=14，x₁=2，
∴2+2q+2q²=14，
解得q=2，或q=-3（舍去），
∴x_n=2×2^n-1=2ⁿ．
故答案為：2ⁿ．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，求證{x_n}為等比數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．