Question

4．設(shè)函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{3^x}，x≤0\\{log_4}x，x＞0\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程af²（x）-f（x）=0恰有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A． （0，1]
• B． [1，+∞）
• C． [0，1]
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 結(jié)合方程af²（x）-f（x）=0恰有三個不同的實數(shù)解，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點的個數(shù)判斷問題，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象即可獲得解答．

解答 解：由題意可知：函數(shù)f（x）的圖象如下：
由關(guān)于x的方程af²（x）-f（x）=0恰有三個不同的實數(shù)解，
其中f（x）=0，即x=1是其中一個解，
則方程$\frac{1}{a}$=f（x）恰有2個不同的實數(shù)解，
即函數(shù)y=$\frac{1}{a}$與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有2個不同的交點．
由圖象易知：$\frac{1}{a}$∈（0，1]，
實數(shù)a的取值范圍為[1，+∞），
故選B．

點評 此題考查的是方程的根的存在性以及根的個數(shù)問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了問題轉(zhuǎn)化的思想、數(shù)形結(jié)合的思想．值得同學(xué)們體會反思．