Question

11．現(xiàn)有一圓心角為$\frac{π}{2}$，半徑為12cm的扇形鐵皮（如圖）．P，Q是弧AB上的動(dòng)點(diǎn)且劣弧$\widehat{PQ}$的長(zhǎng)為2πcm，過P，Q分別作與OA，OB平行或垂直的線，從扇形上裁剪出多邊形OHPRQT，將該多邊形面積表示為角α的函數(shù)，并求出其最大面積是多少？

Answer 1

分析 連接OQ，OP，則∠POQ=$\frac{π}{6}$，求出面積，利用三角函數(shù)知識(shí)求最值，即可得出結(jié)論．

解答 解：連接OQ，OP，則∠POQ=$\frac{π}{6}$．
設(shè)∠QOB=α，多邊形OHPRQT的面積為S，則∠POB=α+$\frac{π}{6}$，α∈（0，$\frac{π}{3}$），
S=12sinα•12cosα+12sin（α+$\frac{π}{6}$）•12cos（α+$\frac{π}{6}$）-12sinα•12cos（α+$\frac{π}{6}$）=（72$\sqrt{3}$-72）sin（2α+$\frac{π}{6}$）+36，
α=$\frac{π}{6}$，即∠POA=∠QOB=$\frac{π}{6}$時(shí)，多邊形OHPRQT的面積的最大值為72$\sqrt{3}$-36（cm²）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型，三角函數(shù)降冪公式及三角函數(shù)的最值，