Question

20．已知函數(shù)f（x）是（-∞，+∞）的偶函數(shù)，若對(duì)于x≥0，都有f（x+2）=-f（x），且當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=log₂（x+1），求：
（1）f（0）與f（2）的值；
（2）f（3）的值；
（3）f（2013）+f（-2014）的值．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)函數(shù)表達(dá)式即可求f（0）與f（2）的值；
（2）根據(jù)關(guān)系式f（x+2）=-f（x），即可求f（3）的值；
（3）利用函數(shù)的奇偶性和周期性即可求f（2013）+f（-2014）的值．

解答 解：（1）∵當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=log₂（x+1），
∴f（0）=log₂1=0，
∵x≥0，都有f（x+2）=-f（x），
∴f（2）=-f（0）=0．
（2）∵f（x+2）=-f（x），
∴f（3）=f（1+2）=-f（1）=-log₂2=-1；
（3）∵x≥0，都有f（x+2）=-f（x），
∴x≥0，都有f（x+4）=-f（x+2）=f（x），此時(shí)函數(shù)的周期為4，
則f（2013）=f（503×4+1）=f（1）=log₂2=1．
f（-2014）=f（2014）=f（503×4+2）=f（2）=0，
∴f（2013）+f（-2014）=1+0=1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)奇偶性和周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．