Question

6．在實數(shù)集R中定義一種運算“*”，對任意a，b∈R，a*b為唯一確定的實數(shù)，且具有性質(zhì)：
（1）對任意a∈R，有a*0=a；
（2）對任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．
關(guān)于函數(shù)f（x）=（e^x）*$\frac{1}{{e}^{x}}$的性質(zhì)，有如下命題：
①函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
②函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0]；
③函數(shù)f（x）在x=0處取得極小值；
④方程f（x）=4有唯一實數(shù)根
其中正確命題的序號是①③（經(jīng)所有正確命題的序號填寫在橫線上）．

Answer 1

分析 可由性質(zhì)化簡得：f（x）=1+e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$，由奇偶性的定義，求出f（-x），即可判斷①；可求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)不小于0，解出即可判斷②，結(jié)合②得到函數(shù)的單調(diào)性判斷③，由基本不等式，結(jié)合①②即可判斷④．

解答 解：由于對任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0），
則由對任意a∈R，a*0=a，可得a*b=ab+a+b．
則有f（x）=（e^x）*$\frac{1}{{e}^{x}}$=e^x•$\frac{1}{{e}^{x}}$+e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$=1+e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$，對于①，由于定義域為R，關(guān)于原點對稱，且f（-x）=1+e^-x+$\frac{1}{{e}^{-x}}$=1+e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$=f（x），
則f（x）為偶函數(shù)，故①對；
對于②，f′（x）=e^x-e^-x，令f′（x）≥0，則x≥0，即f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，+∞），故②錯；
對于③，由②得：f（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，∴f（x）_極小值=f（0），故③正確；
對于④，由于定義域為R，則e^x＞0，1+e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$≥1+2$\sqrt{{e}^{x}•\frac{1}{{e}^{x}}}$=3，
當(dāng)且僅當(dāng)e^x=$\frac{1}{{e}^{x}}$，即有x=0，f（x）取最小值3，結(jié)合①②，方程f（x）=4有2個實數(shù)根，故④錯誤；
故答案為：①③．

點評 本題是一個新定義運算型問題，考查了函數(shù)的最值、奇偶性、單調(diào)性等有關(guān)性質(zhì)以及同學(xué)們類比運算解決問題的能力．