Question

18．已知方程lnx-ax+1=0（a為實常數(shù)）有兩個不等實根，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （0，e）
• B． [1，e]
• C． （0，1）
• D． [0，1]

Answer 1

分析 方程lnx-ax+1=0即為a=$\frac{lnx+1}{x}$，令f（x）=$\frac{lnx+1}{x}$（x＞0），求出導數(shù)，單調區(qū)間和極值，畫出圖象，由圖象觀察即可得到a的范圍．

解答 解：方程lnx-ax+1=0即為a=$\frac{lnx+1}{x}$，
令f（x）=$\frac{lnx+1}{x}$（x＞0），
則f′（x）=$\frac{1-（lnx+1）}{{x}^{2}}$=-$\frac{lnx}{x}$，
當0＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當x＞1時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
x=1處取得極大值，也為最大值，且為1，
作出y=f（x）的圖象，
當0＜a＜1時，y=f（x）和y=a有兩個交點，
即有f（x）=0有兩個實根．
故選C．

點評 本題考查方程的根的個數(shù)，考查運用導數(shù)，求單調區(qū)間和極值、最值，數(shù)形結合的思想方法，屬于中檔題．