Question

1．已知函數(shù)$f（x）=cos（2x+\frac{π}{3}）-cos2x（x∈R）$，下列命題：
①函數(shù)f（x）是最小正周期為π的奇函數(shù)；
②函數(shù)f（x）的一條對稱軸是x=$\frac{2π}{3}$；
③函數(shù)f（x）圖象的一個對稱中心為$（\frac{5π}{12}，0）$；
④函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為$[{\frac{π}{6}+kπ，\frac{2π}{3}+kπ}]（k∈Z）$．
其中正確命題的序號為（　�。�

• A． ①③④
• B． ①②④
• C． ②③
• D． ②③④

Answer 1

分析 由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=-sin（2x+$\frac{π}{6}$），根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷①不正確；由2x+$\frac{π}{6}$=kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得對稱軸是x=$\frac{2π}{3}$，②正確；由2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z可解得函數(shù)f（x）的一個對稱中心為$（\frac{5π}{12}，0）$，③正確；由2kπ$+\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可解得函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間，即可判定④不正確．

解答 解：∵$f（x）=cos（2x+\frac{π}{3}）-cos2x（x∈R）$
=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=-sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴可得函數(shù)f（x）是最小正周期為π的非奇函數(shù)，①不正確；
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得：x=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$，k∈Z，當(dāng)k=1時，可得函數(shù)f（x）的一條對稱軸是x=$\frac{2π}{3}$，②正確；
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z可解得：x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，k∈Z，當(dāng)k=1時，可得函數(shù)f（x）的一個對稱中心為$（\frac{5π}{12}，0）$，③正確；
由2kπ$+\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可解得函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為$[{\frac{π}{6}+kπ，\frac{5π}{6}+kπ}]（k∈Z）$．④不正確；
故選：C．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．