Question

已知不等式x²-（m+1）x+t＜0的解集為{x|1＜x＜2，x∈R}，
（1）求m，t的值；
（2）若函數(shù)f（x）=-x²+ax+4在區(qū)間（-∞，1]上遞增，在區(qū)間（1，+∞）上遞減，求關(guān)于x的不等式log_a（-mx²+3x+2-t）＜0的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：指、對(duì)數(shù)不等式的解法,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）利用二次不等式的解集，列出關(guān)系式即可求m，t的值；
（2）若函數(shù)f（x）=-x²+ax+4在區(qū)間（-∞，1]上遞增，在區(qū)間（1，+∞）上遞減，求出對(duì)稱軸，得到a的值，然后化簡(jiǎn)不等式log_a（-mx²+3x+2-t）＜0，求解即可．

解答： 解：（1）由題意知：方程x²-（m+1）x+t=0的兩根分別為1、2，（2分）
由韋達(dá)定理得

1+2=m+1 1×2=t

；解得

m=2 t=2

                          （4分）
（2）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=-x²+ax+4在區(qū)間（-∞，1]上遞增，在區(qū)間（1，+∞）上遞減
所以   -

a

2×(-1)

=1，⇒a=2                           （5分）
所以不等式log_a（-mx²+3x+2-t）＜0可化為：log₂₂（-2x²+3x）＜0，
∴0＜-2x²+3x＜1                        （7分）
解得

x＞1或x＜ 1 2 0＜x＜ 3 2

                                        （8分）
∴0＜x＜

1

2

或1＜x＜

3

2

                                 （9分）
所以，原不等式的解集為：{x|0＜x＜

1

2

或1＜x＜

3

2

}             （10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查指數(shù)對(duì)數(shù)不等式的解法與應(yīng)用，考查計(jì)算能力．