Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-1，0），（1，0），且AC、BC所在直線的斜率之積等于-2，記頂點(diǎn)C的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）設(shè)直線y=2x+m（m∈R且m≠0）與曲線E相交于P、Q兩點(diǎn)，點(diǎn)M（$\frac{1}{2}$，1），求△MPQ面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)C（x，y），由題意，可得$\frac{y}{x-1}•\frac{y}{x+1}$=-2（x≠±1），由此能求出曲線E的方程．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+m}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得6x²+4mx+m²-2=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式、三角形面積公式，結(jié)合已知條件能求出△MPQ面積的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)C（x，y），由題意，可得$\frac{y}{x-1}•\frac{y}{x+1}$=-2（x≠±1），
∴曲線E的方程為${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1（x≠±1）．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+m}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，得6x²+4mx+m²-2=0，
∵△=48-8m²＞0，∴m²＜6，
∵x≠±1，∴m≠±2，
又∵m≠0，∴0＜m²＜6，且m²≠4，
∵${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2m}{3}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{m}^{2}-2}{6}$，
∴|PQ|=$\sqrt{5}$|x₁-x₂|=$\sqrt{5}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{5}•\sqrt{（-\frac{2m}{3}）^{2}-4×\frac{{m}^{2}-2}{6}}$
=$\frac{\sqrt{10}}{3}$•$\sqrt{{m}^{2}（6-{m}^{2}）}$．
點(diǎn)M（$\frac{1}{2}$，1）到PQ的距離d=$\frac{|1-1+m|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}|m|$，
∵0＜m²＜6，m²≠4，
∴${{S}_{△MPQ}}^{2}$=（$\frac{1}{2}×|PQ|×d$）²=$\frac{1}{18}{m}^{4}（6-{m}^{2}）$=$\frac{1}{36}$m²•m²（12-2m²）
≤$\frac{1}{36}$•（$\frac{{m}^{2}+{m}^{2}+12-2{m}^{2}}{3}$）³=$\frac{1}{36}×64$=$\frac{16}{9}$，
當(dāng)且僅當(dāng)m²=12-2m²時(shí)，取等號，又m²≠4，
∴${{S}_{△MPQ}}^{2}$∈（0，$\frac{16}{9}$）．
∴△MPQ面積的取值范圍是（0，$\frac{4}{3}$）．

點(diǎn)評 本題考查曲線方程的求法，考查三角形取值范圍的求法，考查橢圓、直線方程、根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．