Question

2．已知函數(shù)$f（x）=1+\frac{a}{{{2^x}+1}}（{a∈R}）$．
（Ⅰ）是否存在實數(shù)a的值，使f（x）的圖象關(guān)于原點對稱？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由；
（Ⅱ）若a=1，t（2^x+1）f（x）＞2^x-2對x∈R恒成立，求實數(shù)f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）法一：根據(jù)f（0）=0，求出a的值，
法二：根據(jù)函數(shù)的奇偶性進(jìn)行判斷；
（Ⅱ）求出f（x）的表達(dá)式，問題轉(zhuǎn)化為t＞$\frac{{2}^{x}-2}{{2}^{x}+2}$對x∈R恒成立，令g（x）=$\frac{{2}^{x}-2}{{2}^{x}+2}$，g（x）的上線，從而求出t的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）定義域為R，又知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，則f（0）=0⇒a=-2，
下面證明a=-2時：$f（x）=1-\frac{2}{{{2^x}+1}}$是奇函數(shù)，
∵$f（-x）=1-\frac{2}{{{2^{-x}}+1}}=1-\frac{{2•{2^x}}}{{1+{2^x}}}=\frac{{1-{2^x}}}{{1+{2^x}}}=\frac{{-（{1+{2^x}}）+2}}{{1+{2^x}}}=-1+\frac{2}{{1+{2^x}}}=-f（x）$，
對定義域R上的每一個x都成立，
∴f（x）為R上的奇函數(shù)，
∴存在實數(shù)a=-2，使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
另解：定義域為R，又知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，
則f（-x）=-f（x）對f（x）定義域R上的每一個x都成立．
∴$1+\frac{a}{{{2^{-x}}+1}}=-1-\frac{a}{{{2^x}+1}}$
∴$-2=\frac{a}{{{2^{-x}}+1}}+\frac{a}{{{2^x}+1}}$=$\frac{{a•{2^x}}}{{（{{2^{-x}}+1}）•{2^x}}}+\frac{a}{{{2^x}+1}}$=$\frac{{a•{2^x}}}{{1+{2^x}}}+\frac{a}{{{2^x}+1}}$=$\frac{{a（1+{2^x}）}}{{1+{2^x}}}$=a，
∴a=-2，
∴存在實數(shù)a=-2，使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（Ⅱ）若a=1，f（x）=1+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，
t（2^x+1）f（x）＞2^x-2對x∈R恒成立，
即t（2^x+1）（1+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$）＞2^x-2對x∈R恒成立，
即t＞$\frac{{2}^{x}-2}{{2}^{x}+2}$對x∈R恒成立，
令g（x）=$\frac{{2}^{x}-2}{{2}^{x}+2}$=$\frac{1-\frac{2}{{2}^{x}}}{1+\frac{2}{{2}^{x}}}$＜1，
∴t≥1．

點評 本題考查了函數(shù)畫出了問題，考查函數(shù)的奇偶性以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．