Question

10．已知f（x）是二次函數，且滿足f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x
（1）求f（x）；
（2）若y=f（x）-kx在[2，4]上是單調減函數，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）要求二次函數的解析式，利用直接設解析式的方法，一定要注意二次項系數不等于零，在解答的過程中使用系數的對應關系，解方程組求的結果；
（2）若y=f（x）-kx在[2，4]上是單調減函數，則$\frac{k+1}{2}$≥4，解得k的取值范圍．

解答 解：（1）設二次函數的解析式為f（x）=ax²+bx+c （a≠0）
由f（0）=1得c=1，
故f（x）=ax²+bx+1．
因為f（x+1）-f（x）=2x，
所以a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2x．
即2ax+a+b=2x，
故2a=2，且a+b=0，
∴a=1．b=-1
所以f（x）=x²-x+1，
（2）函數y=f（x）-kx=x²-（k+1）x+1的圖象是開口朝上，且以直線x=$\frac{k+1}{2}$為對稱軸的拋物線，
若y=f（x）-kx在[2，4]上是單調減函數，則$\frac{k+1}{2}$≥4，
解得：k≥7

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答的關鍵．