Question

15．求函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}+x+1}$的值域．

Answer 1

分析 法1：x=0時(shí)，可以求出y=1，而x≠0時(shí)，可將原函數(shù)變成$y=1-\frac{1}{x+\frac{1}{x}+1}$，這樣可看出需討論x＞0和x＜0，對(duì)于每種情況可根據(jù)基本不等式求出$x+\frac{1}{x}$的范圍，進(jìn)而求出$\frac{1}{x+\frac{1}{x}+1}$的范圍，從而得出y的范圍，從而最后對(duì)求得的y值和y的范圍求并集即可得出原函數(shù)的值域．
法2：由原函數(shù)得，yx²+yx+y=x²+1，利用判別式法可得答案．

解答 解：法1：①x=0時(shí)，y=1；
②x≠0時(shí)，$y=\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}+x+1}=\frac{{x}^{2}+x+1-x}{{x}^{2}+x+1}=1-\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$=$1-\frac{1}{x+\frac{1}{x}+1}$；
1）x＞0時(shí)，$x+\frac{1}{x}≥2$，x=1時(shí)取“=”；
∴$0＜\frac{1}{x+\frac{1}{x}+1}≤\frac{1}{3}$；
∴$\frac{2}{3}≤y＜1$；
2）x＜0時(shí)，$x+\frac{1}{x}=-[（-x）+\frac{1}{-x}]≤-2$，x=-1時(shí)取“=”；
∴$-1≤\frac{1}{x+\frac{1}{x}+1}＜0$；
∴1＜y≤2；
∴綜上得原函數(shù)的值域?yàn)?[\frac{2}{3}，2]$．
法2：由原函數(shù)得，yx²+yx+y=x²+1；
整理得，（y-1）x²+yx+y-1=0，看成關(guān)于x的方程，方程有解；
①若y=1，x=0，滿足方程有解；
②若y≠1，則：△=y²-4（y-1）²≥0；
解得$\frac{2}{3}≤y≤2$；
∴綜上得，原函數(shù)的值域?yàn)?[\frac{2}{3}，2]$．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)值域的概念，分離常數(shù)法的運(yùn)用，將原函數(shù)變成可以利用基本不等式求y的范圍從而求值域的方法，注意應(yīng)用基本不等式求y的范圍所具備的條件．