Question

2．設函數(shù)f（x）=e^x-ax-a，g（x）=me^-x-ax+a．
（1）若函數(shù)f（x）-g（x）為偶函數(shù)，求m的值；
（2）在（1）的條件下，若a＞0，f（x）≥0對一切x∈R恒成立，且存在g（x₀）≥0，求a的值；
（3）設h（x）=f（x）+$\frac{a}{{e}^{x}}$，且A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）是曲線y=h（x）上任意兩點，若對任意a≤-1，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞m恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由偶函數(shù)的定義，可得m=-1；
（2）f（x）≥0對一切x∈R恒成立，等價于f（x）_min≥0，利用導數(shù)可得a≥1，再由g（x）求得導數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，可得最大值，即有a≤1，可得a=1；
（3）設x₁，x₂是任意的兩實數(shù)，且x₁g（x₁）-mx₁，令函數(shù)F（x）=g（x）-mx，則F（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，F(xiàn)′（x）=g′（x）-m≥0恒成立，分離出參數(shù)m后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）-g（x）=e^x-ax-a-（me^-x-ax+a）
=e^x-me^-x-2a，
由f（x）-g（x）為偶函數(shù)，即有e^-x-me^x-2a=e^x-me^-x-2a，
即為（1+m）e^x=（1+m）e^-x，則m=-1；
（2）∵f（x）=e^x-a（x+1），∴f′（x）=e^x-a，
∵a＞0，f′（x）=e^x-a=0的解為x=lna，
∴f（x）_min=f（lna）=a-a（lna+1）=-alna，
∵f（x）≥0對一切x∈R恒成立，
∴-alna≥0，∴l(xiāng)na≤0，∴0＜a≤1①
又g（x）=-e^-x-ax+a的導數(shù)為g′（x）=e^-x-a，
由e^-x-a=0解得x=-lna，
x＜-lna時，g（x）遞增，x＞-lna時，g（x）遞減，
x=-lna時，取得最大值，且為-a（-lna）=alna，
由存在g（x₀）≥0，則alna≥0，可得a≥1，②
由①②可得a=1；
（3）證明：設x₁，x₂是任意的兩實數(shù)，且x₁＜x₂，
則$\frac{g（{x}_{2}）-g（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞m，故g（x₂）-mx₂＞g（x₁）-mx₁，
不妨令函數(shù)F（x）=g（x）-mx，則F（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，
∴F′（x）=g′（x）-m≥0恒成立，
∴對任意的a≤-1，x∈R，m≤g′（x）恒成立，
g′（x）=e^x-a-$\frac{a}{{e}^{x}}$≥2$\sqrt{{e}^{x}•（-\frac{a}{{e}^{x}}）}$-a=-a+2$\sqrt{-a}$=（$\sqrt{-a}$+1）²-1≥3，
故m≤3．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷，和函數(shù)恒成立問題、導數(shù)求函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學生分析問題解決問題的能力，該題綜合性強．