Question

20．二次函數f（x）滿足：f（2-x）=f（2+x），又f（0）=0，f（-1）=5，若y=f（x）在[-4，t]上的值域為[-4，32]，則實數t的取值范圍是[2，8]．

Answer 1

分析 根據已知，求出f（x）=x²-4x，故當x=2時，函數取最小值-4，x=-4或x=8時，函數值為32，結合y=f（x）在[-4，t]上的值域為[-4，32]，可得實數t的取值范圍．

解答 解：設函數f（x）=ax²+bx+c，
∵二次函數f（x）滿足f（2+x）=f（2-x），
∴拋物線的對稱軸方程為：x=2．
又∵f（0）=0，f（-1）=5，
∴$\left\{\begin{array}{l}c=0\\-\frac{2a}=2\\ a-b+c=5\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-4\\ c=0\end{array}\right.$，
∴f（x）=x²-4x，
故當x=2時，函數取最小值-4，x=-4或x=8時，函數值為32，
若y=f（x）在[-4，t]上的值域為[-4，32]，
則t∈[2，8]，
故答案為：[2，8]．

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答的關鍵．