Question

14．已知F為拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點，過F的直線l與C交于A，B兩點，M為AB中點，點M到x軸的距離為d，|AB|=2d+1．
（1）求p的值；
（2）過A，B分別作C的兩條切線l₁，l₂，l₁∩l₂=N．請選擇x，y軸中的一條，比較M，N到該軸的距離．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的定義，建立方程，即可得出結論；
（2）判斷x_M=x_N，$|{y_M}|-|{y_N}|=|{{k^2}+\frac{1}{2}}|-|{-\frac{1}{2}}|={k^2}≥0$，即可得出結論．

解答 解：（1）設拋物線C的準線為m，如圖，過A，B，M分別作直線m的垂線，垂足分別為A₁，B₁，M₁．

$|{AB}|=|{AF}|+|{BF}|=|{A{A_1}}|+|{B{B_1}}|=2|{M{M_1}}|=2（{d+\frac{p}{2}}）$，
所以$2（{d+\frac{p}{2}}）=2d+1$，所以p=1．
（2）由（1）得，拋物線$C：{x^2}=2y，F(xiàn)（{0，\frac{1}{2}}）$，
因為直線l不垂直于x軸，可設$l：y=kx+\frac{1}{2}，A（{{x_1}，{y_1}}），B（{{x_2}，{y_2}}），M（{{x_M}，{y_M}}），N（{{x_N}，{y_N}}）$．

由$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}=2y}\\{y=kx+\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$，消去y得，x²-2kx-1=0，
由韋達定理得，$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=2k}\\{{x_1}{x_2}=-1}\end{array}}\right.$，
所以${x_M}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=k，{y_M}={k^2}+\frac{1}{2}$．
拋物線C：x²=2y，即$y=\frac{1}{2}{x^2}$，故y'=x，
因此，切線l₁的斜率為x₁，切線l₁的方程為y=x₁（x-x₁）+y₁，
整理得${l_1}：y={x_1}x-\frac{1}{2}x_1^2$①，
同理可得${l_2}：y={x_2}x-\frac{1}{2}x_2^2$②，
聯(lián)立①②并消去y，得$x=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=k$，
把$x=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$代入①，得$y=\frac{1}{2}{x_1}{x_2}=-\frac{1}{2}$，故$N（{k，-\frac{1}{2}}）$．
因為x_M=x_N，$|{y_M}|-|{y_N}|=|{{k^2}+\frac{1}{2}}|-|{-\frac{1}{2}}|={k^2}≥0$，
所以M，N到y(tǒng)軸的距離相等；M到x軸的距離不小于N到x軸的距離．
（注：只需比較M，N到x軸或y軸的距離中的一個即可）

點評 本題考查拋物線的定義，直線與拋物線位置關系的運用，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．