Question

13．已知等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，若4a₁，2a₂，a₃成等差數(shù)列，數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和為S_n，則滿(mǎn)足不等式S_n＞$\frac{125}{63}$的n的最小值為（　　）

• A． 7
• B． 6
• C． 5
• D． 4

Answer 1

分析 設(shè)出等比數(shù)列的公比q，由題意列式求得q，再由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和求得數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和為S_n，代入S_n＞$\frac{125}{63}$求得n的最小值．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，又a₁=1，
由4a₁，2a₂，a₃成等差數(shù)列，得4a₂=4a₁+a₃，
即4q=4+q²，解得q=2，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項(xiàng)，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
則其前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}=2（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$，
由S_n＞$\frac{125}{63}$，得$2（1-\frac{1}{{2}^{n}}）＞\frac{125}{63}$，
即2^n-1＞63，
∵n∈N^*，∴n的最小值為7．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，訓(xùn)練了數(shù)列不等式的解法，是中檔題．