Question

3．設橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，若直線l：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1經過橢圓C的右焦點及上頂點．
（l）求橢圓C的方程；
（2）設直線x=my+1與橢圓C交于A，B兩點，點A關于x軸的對稱點為A′（A′與B不重合），則直線A′B與x軸是否交于一個定點？若是，請寫出定點坐標，并證明你的結論；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求得直線與坐標軸的交點，可得c=$\sqrt{3}$，b=1，由a，b，c的關系可得a，進而得到橢圓方程；
（2）把直線方程與橢圓方程聯立消去y，設出A，B的坐標，則A′的坐標可推斷出，利用韋達定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，進而可表示出A′B的直線方程，把y=0代入求得x的表達式，把x₁=my₁+1，x₂=my₂+1代入求得x=4，進而可推斷出直線A′B與x軸交于定點（4，0）．

解答 解：（1）直線l：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1與x軸的交點為（$\sqrt{3}$，0），
與y軸的交點為（0，1），
由題意可得c=$\sqrt{3}$，b=1，a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=2，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
得（my+1）²+4y²=4，即（m²+4）y²+2my-3=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則A′（x₁，-y₁）．
且y₁+y₂=-$\frac{2m}{4+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{3}{4+{m}^{2}}$．
經過點A′（x₁，-y₁），B（x₂，y₂）的直線方程為$\frac{y+{y}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{x-{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$．
令y=0，則x=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$y₁+x₁=$\frac{{x}_{2}{y}_{1}+{x}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
又∵x₁=my₁+1，x₂=my₂+1．
∴當y=0時，x=$\frac{（m{y}_{2}+1）{y}_{1}+（m{y}_{1}+1）{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{-6m-2m}{-2m}$=4，
這說明，直線A′B與x軸交于定點（4，0）．

點評 本題主要考查了橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系．考查了學生基礎知識的綜合運用以及運算能力，屬于中檔題．