Question

12．已知實數(shù)a和b（b≠0），若不等式|a+2b|+|a-2b|≤M•|b|有解，記實數(shù)M的最小值為m．
（1）求m的值；
（2）解不等式|x-1|+|x-3|≤m．

Answer 1

分析 （1）分離參數(shù)，利用絕對值不等式，求出M的范圍，即可求m的值；
（2）利用絕對值的幾何意義，解不等式|x-1|+|x-3|≤m

解答 解：（1）由|a+2b|+|a-2b|≤M•|b|，得$M≥\frac{{|{a+2b}|+|{a-2b}|}}{|b|}$．
∵$\frac{{|{a+2b}|+|{a-2b}|}}{|b|}≥\frac{{|{a+2b-（{a-2b}）}|}}{|b|}=4$
要使不等式|a+2b|+|a-2b|≤M•|b|有解，則M≥4，∴m=4…（5分）
（2）由（1）知m=4，∴不等式為|x-1|+|x-3|≤4
由絕對值的幾何意義知0≤x≤4，
∴不等式解集為{x|0≤x≤4}…（10分）

點評 本題考查絕對值不等式，考查絕對值的幾何意義，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)．