Question

已知二次函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y=2x平行，且y=f（x）在x=-1處取得最小值為0．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)y=f（x）-kx在區(qū)間（0，2）有兩個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的形式及函數(shù)的最小值，設(shè)出f（x），求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)是函數(shù)的斜率，列出方程，求出a，m的值．
（2）y=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1，在區(qū)間（0，2）有兩個不同的零點(diǎn)，即x²+（2-k）x+1=0在區(qū)間
（0，2）有兩個不同根，根據(jù)根的存在條件列出不等式解得即可．

解答： 解：（1）依題可設(shè)f（x）=a（x+1）²+m-1（a≠0），
則f′（x）=2ax+2a；
又f′（x）的圖象與直線y=2x平行   
∴2a=2     
解得a=1
∵y=f（x）在x=-1處取得最小值為0．
∴m-1=0
∴m=1
∴f（x）=x²+2x+1，
（2）∵y=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1，在區(qū)間（0，2）有兩個不同的零點(diǎn)，
即x²+（2-k）x+1=0在在區(qū)間（0，2）有兩個不同根，
∴

f(0)＞0  f(2)＞0 0＜ k-2 2 ＜2

即

1＞0 2k+1＞0 0＜ k-2 2 ＜2

解得.2＜k＜6，
故實(shí)數(shù)k的取值范圍為（2，6）

點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的頂點(diǎn)式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．主要考查基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用和學(xué)生的計(jì)算能力．