Question

3．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對任意x∈R，都有f（x+4π）=f（x）+f（2π）成立，那么函數(shù)f（x）可能是（　�。�

• A． f（x）=2sin$\frac{1}{2}$x
• B． f（x）=2cos²$\frac{1}{4}$x
• C． f（x）=2cos²$\frac{1}{2}$x
• D． f（x）=2cos$\frac{1}{2}$x

Answer 1

分析 令x=-2π，可求得f（-2π）=f（2π）=0，從而可得f（x）是以4π為周期的函數(shù)，化簡函數(shù)，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵f（x+4π）=f（x）+f（2π），
∴f（-2π+4π）=f（-2π）+f（2π），
∴f（-2π）=0，
又函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（2π）=0．
∴f（x+4π）=f（x）+0=f（x），
∴f（x）是以4π為周期的函數(shù)．
f（x）=2cos²$\frac{1}{4}$x=1+cos$\frac{1}{2}$x，以4π為周期的函數(shù)．
故選：B．

點評 本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查賦值法，求得f（2π）=0是關(guān)鍵，考查函數(shù)的周期性，屬于中檔題．