Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²e^x．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）證明：?x₁，x₂∈（-∞，0]，f（x₁）-f（x₂）≤$\frac{4}{{e}^{2}}$；
（Ⅲ）寫出集合{x∈R|f（x）-b=0}（b為常數(shù)且b∈R）中元素的個數(shù)（只需寫出結(jié)論）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）在（-∞，-2）遞增，在（-2，0）遞減．當(dāng)x∈（-∞，0]時，f（x）的最大值為f（-2），再由f（x）≥0，則在x∈（-∞，0]時，f（x）的最小值為f（0）=0，再由?x₁，x₂∈（-∞，0]，f（x₁）-f（x₂）≤f（x）_max-f（x）_min=，即可得證；
（Ⅲ）對b討論，當(dāng)b＜0時，當(dāng)b=0或b＞$\frac{4}{{e}^{2}}$時，當(dāng)b=$\frac{4}{{e}^{2}}$時，當(dāng)0＜b＜$\frac{4}{{e}^{2}}$時，即可得到集合中元素的個數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x²e^x的導(dǎo)數(shù)f′（x）=（2x+x²）e^x，
由f′（x）＞0，可得x＞0或x＜-2，由f′（x）＜0，可得-2＜x＜0．
則f（x）的增區(qū)間為（-∞，-2），（0，+∞），減區(qū)間為（-2，0）；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可得f（x）在（-∞，-2）遞增，在（-2，0）遞減．
當(dāng)x∈（-∞，0]時，f（x）的最大值為f（-2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$，
由于f（x）≥0，則在x∈（-∞，0]時，f（x）的最小值為f（0）=0，
則?x₁，x₂∈（-∞，0]，f（x）的最大值-f（x）的最小值為$\frac{4}{{e}^{2}}$，
即有?x₁，x₂∈（-∞，0]，f（x₁）-f（x₂）≤f（x）_max-f（x）_min=$\frac{4}{{e}^{2}}$；
（Ⅲ）當(dāng)b＜0時，集合{x∈R|f（x）-b=0}的元素個數(shù)為0；
當(dāng)b=0或b＞$\frac{4}{{e}^{2}}$時，集合{x∈R|f（x）-b=0}的元素個數(shù)為1；
當(dāng)b=$\frac{4}{{e}^{2}}$時，集合{x∈R|f（x）-b=0}的元素個數(shù)為2；
當(dāng)0＜b＜$\frac{4}{{e}^{2}}$時，集合{x∈R|f（x）-b=0}的元素個數(shù)為3．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和最值，同時考查函數(shù)的單調(diào)性及運(yùn)用，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．