Question

11．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，且BC=2AD，AD⊥CD，PB⊥CD，點E在棱PD上，且PE=2ED．
（1）求證：平面PCD⊥平面PBC；
（2）求證：PB∥平面AEC．

Answer 1

分析 （1）由CD⊥BC，CD⊥PB得出CD⊥平面PBC，故而平面PCD⊥平面PBC；
（2）連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)EO．利用三角形相似得出$\frac{OD}{OB}=\frac{DE}{PE}$=$\frac{1}{2}$，從而得到OE∥PB，得出結(jié)論．

解答 證明：（1）∵AD∥BC，AD⊥CD，
∴CD⊥BC，又CD⊥PB，BC?平面PBC，PB?平面PBC，BC∩PB=B，
∴CD⊥平面PBC，
又CD?平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PBC．
（2）連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)EO．
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴$\frac{DO}{OB}=\frac{AD}{BC}=\frac{1}{2}$，
又PE=2ED，即$\frac{DE}{PE}=\frac{1}{2}$，
∴OE∥PB，
∵OE?平面EAC，PB?平面EAC，
∴PB∥平面AEC．

點評 本題考查了線面平行，面面垂直的判定，屬于中檔題．