Question

20．若P、Q、R是邊長(zhǎng)為1的正△ABC邊BC上的四等分點(diǎn)，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$+$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{AR}$+$\overrightarrow{AR}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{13}{4}$．

Answer 1

分析 由題意建立平面直角坐標(biāo)系，求出所用點(diǎn)的坐標(biāo)，得到向量的坐標(biāo)，由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得答案．

解答 解：建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，

∵P、Q、R是邊長(zhǎng)為1的正△ABC邊BC上的四等分點(diǎn)，
∴Q（0，0），R（$\frac{1}{4}，0$），C（$\frac{1}{2}，0$），P（$-\frac{1}{4}，0$），B（$-\frac{1}{2}，0$），A（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$+$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{AR}$+$\overrightarrow{AR}$•$\overrightarrow{AC}$=2（$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$）
=2[（$-\frac{1}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}$）（$-\frac{1}{4}，-\frac{\sqrt{3}}{2}$）+（$-\frac{1}{4}，-\frac{\sqrt{3}}{2}$）（0，$-\frac{\sqrt{3}}{2}$）]
=2（$\frac{1}{8}+\frac{3}{4}+\frac{3}{4}$）=$\frac{13}{4}$．
故答案為：$\frac{13}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，建立平面直角坐標(biāo)系使該題起到事半功倍的效果，是中檔題．