Question

1．（1）已知：i^k=-i，k∈Z，-5＜k≤5求k的值；
（2）計(jì)酸S=i+2i²+3i³+…+2007i²⁰⁰⁷+2008i²⁰⁰⁸的值．
（3）計(jì)算（$\sqrt{3}$+i）⁶的值．

Answer 1

分析 （1）利用復(fù)數(shù)單位的冪運(yùn)算之間求解即可．
（2）利用復(fù)數(shù)的冪運(yùn)算求出一個(gè)周期內(nèi)的數(shù)值，然后求解即可．
（3）利用復(fù)數(shù)的乘法化簡求解即可．

解答 解：（1）∵i³=-i，復(fù)數(shù)的單位的冪運(yùn)算的周期為4，∴由i^k=-i，k∈Z，-5＜k≤5，可得k=-1，3；
（2）S=i+2i²+3i³+…+2007i²⁰⁰⁷+2008i²⁰⁰⁸
=（i-2-3i+4）+（5i-6-7i+8）+…+（2005i-2006-2007i+2008i）
=502（2-2i）
=1004-1004i．
（3）（$\sqrt{3}$+i）⁶=（2-2$\sqrt{3}$i）³
=8（1-$\sqrt{3}$i）³
=8（1-$\sqrt{3}$i）²（1-$\sqrt{3}$i）
=16（1+$\sqrt{3}$i）（1-$\sqrt{3}$i）
=16×4
=64．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運(yùn)算，數(shù)列求和，考查計(jì)算能力．