Question

19．如圖1，已知正三角形ABC，以AB、AC為邊在同一平面內(nèi)向外作正三角形ABE與ACD，F(xiàn)為CD中點(diǎn)，分別沿AB、AF將平面ABE、平面ADE折成直二面角，連接EC、CD，如圖2所示．
（1）求證：CD∥平面ABE；
（2）求二面角E-AC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理證明平面DEF∥平面ABE，即可證明CD∥平面ABE；
（2）建立空間坐標(biāo)系，利用向量法即可求二面角E-AC-B的余弦值．

解答 （1）證明：取AB的中點(diǎn)O，連接EO，OC，則EO⊥AB，0C⊥AB，
∵平面ABE⊥平面ABC，
∴EO⊥平面ABC，
∵平面ADE⊥平面ABC，F(xiàn)為CD中點(diǎn)，
∴DF⊥AF，DF⊥CF，
則DF⊥平面ABC，
則DF∥OE，則DF∥平面ABE，
∵CF∥AB，∴則CF∥平面ABE，
∵DF∩CF=F，
∴平面DEF∥平面ABE，
∵CD?平面CDF
∴CD∥平面ABE；
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A，0C，0E為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)OB=1，
則B（1，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），A（-1，0，0），E（0，0，$\sqrt{3}$），
則$\overrightarrow{AC}$=（1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{AE}$=（1，0，$\sqrt{3}$）
則平面ABC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
設(shè)平面EAC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y=0}\\{x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，令x=$\sqrt{3}$，則y=-1，z=-1，即$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，-1，-1），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{3+1+1}}=\frac{-1}{\sqrt{5}}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$
由于二面角E-AC-B是銳二面角，
∴二面角E-AC-B的余弦值是$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查空間中線線、線面的位置關(guān)系和空間中角的計(jì)算，涉及二面角的平面角，傳統(tǒng)方法和坐標(biāo)向量法均可，考查的知識(shí)面較廣，難度中等．