Question

16．已知圓C過點(diǎn) A（1，4），B（3，2），且圓心在直線x+y-3=0上．
（I）求圓C的方程；
（II）若點(diǎn) P（x，y）在圓C上，求x+y的最大值．

Answer 1

分析 （I）由題意和圓的知識(shí)可得圓心還在AB的垂直平分線上，求平分線方程聯(lián)立方程組可得圓心坐標(biāo)，可得圓的方程；
（II）三角換元可得x=1+2cosθ，y=2+2sinθ，由三角函數(shù)的最值可得．

解答 解：（I）∵圓C過點(diǎn) A（1，4），B（3，2），
∴圓心在AB的垂直平分線上，
可得kAB=$\frac{4-2}{1-3}$=-1，故平分線的斜率為1，
又AB的中點(diǎn)為（2，3），
∴垂直平分線方程為y-3=x-2，
又∵圓心在直線x+y-3=0上，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3=0}\\{y-3=x-2}\end{array}\right.$可得圓心C（1，2），
∴圓的半徑r=|AC|=$\sqrt{（1-1）^{2}+（4-2）^{2}}$=2
∴所求圓C的方程為：（x-1）²+（y-2）²=4
（II）由圓C的方程為：（x-1）²+（y-2）²=4可得
x-1=2cosθ，y-2=2sinθ，∴x=1+2cosθ，y=2+2sinθ，
∴x+y=1+2cosθ+2+2sinθ=3+2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）
由三角函數(shù)可得x+y的最大值為$3+2\sqrt{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，涉及圓的方程的求解和三角換元法求式子的最值，屬中檔題．