Question

1．若不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x-5y+10≤0}\\{x+y-8≤0}\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域存在點(diǎn)（x₀，y₀），使x₀+ay₀+2≤0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1]．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
若a=0，則不等式x+ay+2≤0等價(jià)為x≤-2，此時(shí)不滿足條件，
若a＞0，則不等式等價(jià)為y≤-$\frac{1}{a}$x-$\frac{2}{a}$，直線y=-$\frac{1}{a}$x-$\frac{2}{a}$的斜率k=-$\frac{1}{a}$＜0，此時(shí)區(qū)域都在直線y=-$\frac{1}{a}$x-$\frac{2}{a}$的上方，不滿足條件．
若a＜0，則不等式等價(jià)為y≥-$\frac{1}{a}$x-$\frac{2}{a}$，直線y=-$\frac{1}{a}$x-$\frac{2}{a}$的斜率k=-$\frac{1}{a}$＞0，
若平面區(qū)域存在點(diǎn)（x₀，y₀），使x₀+ay₀+2≤0成立，
則只要滿足點(diǎn)A（0，2）滿足條件不等式此時(shí)區(qū)域都在直線y=-$\frac{1}{a}$x-$\frac{2}{a}$的上方即可．
即0+2a+2≤0，解得a≤-1，
故答案為：（-∞，-1]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論的數(shù)學(xué)思想是解決本題的關(guān)鍵．