Question

17．設函數(shù)f（x）=lnx-ax，g（x）=e^x-ax，其中a為實數(shù)．若f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，則a的取值范圍是（e，+∞）．

Answer 1

分析 求出f（x）的導數(shù)，得f（x）在（a^-1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．同理，f（x）在（0，a^-1）上是單調(diào)增函數(shù)．求得a≥1，再由g（x）的導數(shù)，判斷單調(diào)性，可得g（x）的最小值，即可得到a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=lnx-ax的導數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
考慮到f（x）的定義域為（0，+∞），
故a＞0，f′（x）＜0，解得x＞a^-1，
即f（x）在（a^-1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．
同理，f（x）在（0，a^-1）上是單調(diào)增函數(shù)．
由于f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，
故（1，+∞）⊆（a^-1，+∞），從而a^-1≤1，即a≥1．
令g'（x）=e^x-a=0，得x=lna．
當x＜lna時，g′（x）＜0；當x＞lna時，g′（x）＞0．
又g（x）在（1，+∞）上有最小值，所以lna＞1，
即a＞e．綜上，有a∈（e，+∞）．
故答案為：（e，+∞）．

點評 本題主要考查了利用函數(shù)的導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值問題，考查學生分析解決問題的能力，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的能力，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．是中檔題．