Question

6．在平面直角坐標系xOy中，圓C：（x-1）²+y²=5和y軸的負半軸相交于A點，點B在圓C上（不同于點A），M為AB的中點，且|OA|=|OM|，則點M的坐標為$（\frac{8}{5}，-\frac{6}{5}）$．

Answer 1

分析 由題意可得O、A、M、C四點共圓，則此圓的直徑為AC=$\sqrt{5}$，|OA|=|OM|=2，利用正弦定理求得sin∠OCM=$\frac{2}{\sqrt{5}}$．再根據(jù)∠OCM+∠OAM=π，可得sin∠OAM=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，可得cos∠OAM=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\frac{AM}{2}}{OA}$=$\frac{AM}{4}$，求得AM的值．作MH⊥OA，H為垂足，直角三角形AMH中，由cos∠OAM=$\frac{AH}{AM}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，求得AH的值，可得OH的值，從而得出結(jié)論．

解答 解：由題意可得A（0，-2），C（1，0），且CM⊥AB，O、A、M、C四點共圓，則此圓的直徑為AC=$\sqrt{5}$．
根據(jù)M為AB的中點，且|OA|=|OM|=2，利用正弦定理可得sin∠OCM=$\frac{2}{\sqrt{5}}$．
根據(jù)∠OCM+∠OAM=π，可得sin∠OAM=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴cos∠OAM=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\frac{AM}{2}}{OA}$=$\frac{AM}{4}$，∴AM=$\frac{4}{\sqrt{5}}$．
作MH⊥OA，H為垂足，
直角三角形AMH中，∵cos∠OAM=$\frac{AH}{AM}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴AH=$\frac{4}{5}$，∴OH=2-$\frac{4}{5}$=$\frac{6}{5}$，
∴點M的坐標為$（\frac{8}{5}，-\frac{6}{5}）$．
故答案為：$（\frac{8}{5}，-\frac{6}{5}）$．

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查正弦定理，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．