已知n∈N*，
（1）證明：對任意k∈N*，有kC
 
k
n
=nC
 
k-1
n-1
；
（2）證明：1•C
 
1
n
+2•C
 
2
n
+…+n•C
 
n
n
=n•2n-1；
（3）化簡：C
 
0
n
-
1
2
C
 
1
n
+
1
3
C
 
2
n
-
1
4
C
 
3
n
+…+
(-1)n
n+1
C
 
n
n
．
考點：組合及組合數(shù)公式
專題：排列組合
分析：（1）由組合數(shù)公式可得左邊=
n!
(k-1)!•(n-k)!
，右邊=
n!
(k-1)!•(n-k)!
，可證得結論；（2）設0
C
0
n
+1•C
 
1
n
+2•C
 
2
n
+…+n•C
 
n
n
=x，①由組合數(shù)的性質可得n
C
0
n
+（n-1）•C
 
1
n
+（n-2）•C
 
2
n
+…+0•C
 
n
n
=x，兩式相加即可證明；（3）由（1）對任意k∈N*，有kC
 
k
n
=nC
 
k-1
n-1
，變形可得
1
k
C
 
k-1
n-1
=
1
n
C
 
k
n
，可得原式=
1
n
C
1
n+1
-
1
n
C
2
n+1
+
1
n
C
3
n+1
-
1
n
C
4
n+1
+…+
1
n
（-1）n
C
n+1
n+1
=
1
n
（
C
1
n+1
-
C
2
n+1
+
C
3
n+1
-
C
4
n+1
+…+（-1）n
C
n+1
n+1
），由（1-1）n+1的二項展開式可得．
解答： 證明：（1）左邊=kC
 
k
n
=k•
n!
k!•(n-k)!
=
n!
(k-1)!•(n-k)!
，
右邊=n•
(n-1)!
(k-1)!•(n-1-k+1)!
=
n!
(k-1)!•(n-k)!
，
∴對任意k∈N*，有kC
 
k
n
=nC
 
k-1
n-1
；
（2）設0
C
0
n
+1•C
 
1
n
+2•C
 
2
n
+…+n•C
 
n
n
=x，①
則n•C
 
n
n
+（n-1）•
C
n-1
n
+…+1•C
 
1
n
+0
C
0
n
=x，
由組合數(shù)的性質可得n
C
0
n
+（n-1）•C
 
1
n
+（n-2）•C
 
2
n
+…+0•C
 
n
n
=x，③
①③兩式相加可得n（
C
0
n
+C
 
1
n
+C
 
2
n
+…+C
 
n
n
）=2x，
即n•2n=2x，∴x=n•2n-1，
∴1•C
 
1
n
+2•C
 
2
n
+…+n•C
 
n
n
=n•2n-1；
（3）由（1）對任意k∈N*，有kC
 
k
n
=nC
 
k-1
n-1
，
∴變形可得
1
k
C
 
k-1
n-1
=
1
n
C
 
k
n
，
∴C
 
0
n
-
1
2
C
 
1
n
+
1
3
C
 
2
n
-
1
4
C
 
3
n
+…+
(-1)n
n+1
C
 
n
n

=
1
n
C
1
n+1
-
1
n
C
2
n+1
+
1
n
C
3
n+1
-
1
n
C
4
n+1
+…+
1
n
（-1）n
C
n+1
n+1

=
1
n
（
C
1
n+1
-
C
2
n+1
+
C
3
n+1
-
C
4
n+1
+…+（-1）n
C
n+1
n+1
）
=
1
n
（
C
0
n+1
+
C
1
n+1
-
C
2
n+1
+
C
3
n+1
-
C
4
n+1
+…+（-1）n
C
n+1
n+1
）-
1
n

=
1
n
（1-1）n+1-
1
n
=-
1
n
點評：本題考查組合數(shù)及組合數(shù)公式，正確變形是解決問題的關鍵，屬較難題．
練習冊系列答案
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已知函數(shù)f（x）=x3-x2+ax+b（a，b∈R）的一個極值點為x=1
（1）求a的值和f（x）的單調區(qū)間；
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x
2
-
π
4
），x∈R．
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（2）若sinθ=
3
5
，θ∈（
π
2
，π），求f（4θ+π）．

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進制轉換（寫明過程）
（1）376（5）=
 
（10）；
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（3）．

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（1）求拋物線C的方程；
（2）當△AFB和△QFB的面積相等時，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

為了調查某大學學生在某天上網(wǎng)的時間，隨機對100名男生和100名女生進行了不記名的問卷調查．得到了如下的統(tǒng)計結果：
表1：男生上網(wǎng)時間與頻數(shù)分布表
上網(wǎng)時間（分鐘）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80]
人數(shù)525302515
表2：女生上網(wǎng)時間與頻數(shù)分布表
上網(wǎng)時間（分鐘）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80]
人數(shù)1020402010
（1）完成下面的2×2列聯(lián)表；
上網(wǎng)時間少于60分鐘上網(wǎng)時間不少于60分鐘合計
男生
女生
合計
（2）能否有90%的把握認為“大學生上網(wǎng)時間與性別有關”？

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