Question

設(shè)二次函數(shù)．

（1）求函數(shù)的最小值；

（2）問是否存在這樣的正數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720071215455817/SYS201411172007223737561057_ST/SYS201411172007223737561057_ST.007.png">？若存在，求出所有的的值，若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）；（2），．

【解析】

試題分析：（1）這里遇到的是復(fù)合函數(shù)的最值問題，它是由簡單的二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)復(fù)合而成的，遵循由內(nèi)到外的解題順序，很容易求出最小值；（2）這里是含參數(shù)的問題，常規(guī)方法是對參數(shù)分類討論，如何分類，即分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么？這是重點(diǎn)和難點(diǎn)，看解析往往是知其然，不知其所以然，這里的分類標(biāo)準(zhǔn)是將動區(qū)間與二次函數(shù)的定對稱軸進(jìn)行比較，自然就會分出它們有三種相對位置關(guān)系，即對稱軸分別在區(qū)間的左、中、右，故討論分三種情形，當(dāng)然討論必須遵守不重不漏的原則，因此我們還必須關(guān)注細(xì)節(jié)，如區(qū)間的端點(diǎn)等，學(xué)會討論重要，學(xué)會回避討論更重要，它對化繁為簡的能力要求非常高，這里的解法一是分類討論的，而解法二就回避了討論，解得很簡潔，用心體會一下．

試題解析：（1），令

則為上減函數(shù)，因此，則當(dāng)時(shí)， 4分

（2）法一：

①當(dāng)時(shí)，

而當(dāng)時(shí)，的最大值為，故此時(shí)不可能使，且的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720071215455817/SYS201411172007223737561057_DA/SYS201411172007223737561057_DA.019.png">． 7分

②當(dāng)時(shí)，

則最大值為,即，

得與矛盾，故此時(shí)不可能． 10分

③當(dāng)時(shí)，

∵，為減函數(shù)，則

于是，即，

，即

∵，∴， 13分

綜上所述，，． 14分

法二：

，

，即，即，為減函數(shù)，

于是，即，

，即

∵，∴， 14分

考點(diǎn)：1．函數(shù)性質(zhì)的研究；2．含參數(shù)問題的討論；3．函數(shù)、方程與不等式的綜合．