Question

9．已知g（x）=bx²+cx+1，f（x）=x²+ax-lnx+1，g（x）在x=1處的切線為y=2x
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）若a=-1，求f（x）的極值；
（Ⅲ）設(shè)h（x）=f（x）-g（x），是否存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)x∈（0，e]，（e≈2.718，為自然常數(shù)）時(shí)，函數(shù)h（x）的最小值為3．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由已知切線方程，可得2b+c=2，b+c+1=2，解得b，c即可；
（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間，即可得到極值；
（Ⅲ）求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，討論①當(dāng)a≤0時(shí)，②當(dāng)0＜a≤$\frac{1}{e}$時(shí)，當(dāng)a＞$\frac{1}{e}$，通過單調(diào)性判斷函數(shù)的最值情況，即可判斷是否存在．

解答 解：（1）g（x）=bx²+cx+1的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=2bx+c，
g（x）在x=1處的切線斜率為2b+c，
由g（x）在x=1處的切線為y=2x，
則2b+c=2，b+c+1=2，
解得b=1，c=0；
（Ⅱ）若a=-1，則f（x）=x²-x-lnx+1，定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′（x）=2x-1-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-x-1}{x}$=$\frac{（x-1）（2x+1）}{x}$，
令f′（x）=0，解得x=1，
當(dāng)x＞1，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有x=1處，f（x）取得極小值，且為f（x）_極小=f（1）=1，
（Ⅲ）h（x）=f（x）-g（x）=x²+ax-lnx+1-（x²+1）=ax-lnx，
假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使h（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，h有最小值3，
h′（x）=a-$\frac{1}{x}$，
①當(dāng)a≤0時(shí)，h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，h（x）_min=h（e）=ae-1=3，解得a=$\frac{4}{e}$（舍去），
②當(dāng)a＞0時(shí)，h′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{a（x-\frac{1}{x}）}{x}$，
（i）當(dāng)0＜a≤$\frac{1}{e}$時(shí)，$\frac{1}{a}$≥e，h′（x）＜0在（0，e]上恒成立，
所以（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，h（x）_min=h（e）=ae-1=3，解得a=$\frac{4}{e}$（舍去），
（ii）當(dāng)a＞$\frac{1}{e}$時(shí)，0＜$\frac{1}{a}$＜e，當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{a}$時(shí)，h′（x）＜0，所以h（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上遞減，
當(dāng)$\frac{1}{a}$＜x＜e時(shí)，h′（x）＞0，h（x）在（$\frac{1}{a}$，e）上遞增，
所以，h（x）_min=h（$\frac{1}{a}$）=1+lna=3，
所以a=e²滿足條件，
綜上，存在a=e²使當(dāng)x∈（0，e]，（e≈2.718，為自然常數(shù)）時(shí)，函數(shù)h（x）的最小值為3．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，同時(shí)考查存在性問題的解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．