Question

5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=$\sqrt{3}$，點(diǎn)F是PD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在CD上移動．
（1）求三棱錐E-PAB的體積；
（2）當(dāng)點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)時，試判斷EF與平面PAC的關(guān)系，并說明理由；
（3）求證：PE⊥AF．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥平面ABCD，直接把三棱錐E-PAB的體積轉(zhuǎn)化為P-ABE的體積求解；
（2）由點(diǎn)E，F(xiàn)分別為CD、PD的中點(diǎn)，利用三角形中位線定理得EF∥PC，再由線面平行的判定定理得EF∥平面PAC；
（3）由PA⊥平面ABCD可得CD⊥PA．再由CD⊥AD，結(jié)合線面垂直的判定得CD⊥平面PAD．得到AF⊥DC，又PA=AD，點(diǎn)F是PD的中點(diǎn)，可得AF⊥PD．最后由線面垂直的判定得AF⊥平面PDC，則答案得證．

解答 （1）解：∵PA⊥平面ABCD，
∴${V}_{E-PAB}={V}_{P-ABE}=\frac{1}{3}{S}_{△ABE•PA}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{6}$；
（2）解：當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時，EF∥平面PAB．
理由如下：∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為CD、PD的中點(diǎn)，∴EF∥PC．
又∵PC?平面PAC，EF?平面PAC，∴EF∥平面PAC；
（3）證明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA．
又ABCD是矩形，∴CD⊥AD．
∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
又AF?平面PAD，∴AF⊥DC．
∵PA=AD，點(diǎn)F是PD的中點(diǎn)，∴AF⊥PD．
又CD∩PD=D，∴AF⊥平面PDC，
又PE?平面PDC，∴PE⊥AF．

點(diǎn)評 本題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，是中檔題．