Question

7．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n²+2n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，且數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用S_n+1-S_n可知a_n+1=2（n+1）+1，通過a₁=S₁=3滿足上式，進(jìn)而即得結(jié)論；
（2）通過S_n=n²+2n，裂項可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），并項相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵S_n=n²+2n，
∴S_n+1=（n+1）²+2（n+1），
∴a_n+1=S_n+1-S_n
=[（n+1）²+2（n+1）]-（n²+2n）
=2（n+1）+1，
又∵a₁=S₁=1+2=3滿足上式，
∴a_n=2n+1；
（2）∵S_n=n²+2n，
∴b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{3{n}^{2}+5n}{4（n+1）（n+2）}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．