【題目】已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．

（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：；

（Ⅲ）對任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.

【解析】

(Ⅰ)由題意分別求得數(shù)列的公差、公比，然后利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到結(jié)果；

(Ⅱ)利用(Ⅰ)的結(jié)論首先求得數(shù)列前n項(xiàng)和，然后利用作差法證明即可；

(Ⅲ)分類討論n為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后分別利用指數(shù)型裂項(xiàng)求和和錯(cuò)位相減求和計(jì)算和的值，據(jù)此進(jìn)一步計(jì)算數(shù)列的前2n項(xiàng)和即可.

(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為q.

由，，可得d=1.

從而的通項(xiàng)公式為.

由，

又q≠0，可得，解得q=2，

從而的通項(xiàng)公式為.

(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得，

故，，

從而，

所以.

(Ⅲ)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，

對任意的正整數(shù)n，有，

和 ①

由①得 ②

由①②得，

由于，

從而得：.

因此，.

所以，數(shù)列的前2n項(xiàng)和為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某城市對一項(xiàng)惠民市政工程滿意程度（分值：分）進(jìn)行網(wǎng)上調(diào)查，有2000位市民參加了投票，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，得到如下頻率分布直方圖（部分圖）：

現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有參與網(wǎng)上投票的市民中隨機(jī)抽取位市民召開座談會(huì)，其中滿意程度在的有5人．

（1）求的值，并填寫下表（2000位參與投票分?jǐn)?shù)和人數(shù)分布統(tǒng)計(jì)）；

滿意程度（分?jǐn)?shù)）

人數(shù)

（2）求市民投票滿意程度的平均分（各分?jǐn)?shù)段取中點(diǎn)值）；

（3）若滿意程度在的5人中恰有2位為女性，座談會(huì)將從這5位市民中任選兩位發(fā)言，求男性甲或女性乙被選中的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】CES是世界上最大的消費(fèi)電子技術(shù)展，也是全球最大的消費(fèi)技術(shù)產(chǎn)業(yè)盛會(huì).2020CES消費(fèi)電子展于2020年1月7日—10日在美國拉斯維加斯舉辦.在這次CES消費(fèi)電子展上，我國某企業(yè)發(fā)布了全球首款彩色水墨屏閱讀手機(jī)，驚艷了全場.若該公司從7名員工中選出3名員工負(fù)責(zé)接待工作(這3名員工的工作視為相同的工作)，再選出2名員工分別在上午、下午講解該款手機(jī)性能，若其中甲和乙至多有1人負(fù)責(zé)接待工作，則不同的安排方案共有__________種.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，.設(shè)為線段上一點(diǎn)，，有下列條件：

①；②；③.

請從以上三個(gè)條件中任選兩個(gè)，求的大小和的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019年春節(jié)期間，某超市準(zhǔn)備舉辦一次有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，若顧客一次消費(fèi)達(dá)到400元?jiǎng)t可參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，超市設(shè)計(jì)了兩種抽獎(jiǎng)方案.

方案一：一個(gè)不透明的盒子中裝有30個(gè)質(zhì)地均勻且大小相同的小球，其中10個(gè)紅球，20個(gè)白球，攪拌均勻后，顧客從中隨機(jī)抽取一個(gè)球，若抽到紅球則顧客獲得60元的返金券，若抽到白球則獲得20元的返金券，且顧客有放回地抽取3次.

方案二：一個(gè)不透明的盒子中裝有30個(gè)質(zhì)地均勻且大小相同的小球，其中10個(gè)紅球，20個(gè)白球，攪拌均勻后，顧客從中隨機(jī)抽取一個(gè)球，若抽到紅球則顧客獲得80元的返金券，若抽到白球則未中獎(jiǎng)，且顧客有放回地抽取3次.

（1）現(xiàn)有兩位顧客均獲得抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，且都按方案一抽獎(jiǎng)，試求這兩位顧客均獲得180元返金券的概率；

（2）若某顧客獲得抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).

①試分別計(jì)算他選擇兩種抽獎(jiǎng)方案最終獲得返金券的數(shù)學(xué)期望；

②為了吸引顧客消費(fèi)，讓顧客獲得更多金額的返金券，該超市應(yīng)選擇哪一種抽獎(jiǎng)方案進(jìn)行促銷活動(dòng)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和為Sn．設(shè)λ與k是常數(shù)，若對一切正整數(shù)n，均有成立，則稱此數(shù)列為“λ~k”數(shù)列．

（1）若等差數(shù)列是“λ~1”數(shù)列，求λ的值；

（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且an＞0，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）對于給定的λ，是否存在三個(gè)不同的數(shù)列為“λ~3”數(shù)列，且an≥0?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖①，在等腰梯形中，，，.，交于點(diǎn).將沿線段折起，使得點(diǎn)在平面內(nèi)的投影恰好是點(diǎn)，如圖.

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（2）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得三棱錐的體積為？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，是直角梯形，，，且，是的中點(diǎn).

(1)求證：平面平面；

(2)若二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)、是拋物線上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線與的斜率之積為，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A.

B.以為直徑的圓面積的最小值為

C.直線過拋物線的焦點(diǎn)

D.點(diǎn)到直線的距離不大于

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