Question

已知函數(shù)f(x)＝x2－x＋t，t≥0，g(x)＝lnx．

（1）令h(x)＝f(x)＋g(x)，求證：h(x)是增函數(shù)；

（2）直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖象都相切．對(duì)于確定的正實(shí)數(shù)t，討論直線l的條數(shù)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）由h(x)＝f(x)＋g(x)＝x2－x＋t＋lnx，得h' (x)＝2x－1＋，x＞0．

因?yàn)?x＋≥2＝2，所以h' (x)＞0，

從而函數(shù)h(x)是增函數(shù)．                      

（2）記直線l分別切f(x)，g(x)的圖象于點(diǎn)(x1，x12－x1＋t)，(x2，lnx2)，

由f'(x)＝2x－1，得l的方程為y－(x12－x1＋t)＝(2x1－1)(x－x1)，即y＝(2x1－1)x－x12＋t．

由g'(x)＝，得l的方程為y－lnx2＝(x－x2)，即y＝· x＋lnx2－1．

x＞0．

由F'(x)＝0，解得x＝1．

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，F(xiàn)'(x)＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，F(xiàn)'(x)＞0，

所以F(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，

從而F(x)min＝F(1)＝－t．                        

當(dāng)t＝0時(shí)，方程(**)只有唯一正數(shù)解，從而方程組(*)有唯一一組解，

即存在唯一一條滿足題意的直線；              

當(dāng)t＞0時(shí)，F(xiàn)(1)＜0，由于F(et＋1)＞ln(et＋1)－(t＋1)＝0，

故方程(**)在(1，＋∞)上存在唯一解；            

令k(x)＝lnx＋－1(x≤1)，由于k' (x)＝－＝≤0，故k (x)在(0，1]上單調(diào)遞減，

故方程(**)在(0，1)上存在唯一解．

所以當(dāng)t＞0時(shí)，方程(**)有兩個(gè)不同的正數(shù)解，方程組(*)有兩組解．

即存在兩條滿足題意的直線．

綜上，當(dāng)t＝0時(shí)，與兩個(gè)函數(shù)圖象同時(shí)相切的直線的條數(shù)為1；

當(dāng)t＞0時(shí)，與兩個(gè)函數(shù)圖象同時(shí)相切的直線的條數(shù)為2．