Question

20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A（-2，2）、B（2，6），一條直線l過點（0，m），且與單位圓x²+y²=1恒相切，若有且只有兩個點P滿足：
①$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$=-4
②點P到直線l的距離為1
則實數(shù)m的取值范圍是（-∞，-2）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 設(shè)直線l：y=kx+m，由l與單位圓x²+y²=1恒相切，由相切的條件可得k，m的關(guān)系式，設(shè)P的坐標(biāo)（a，b），由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得P在圓心為（0，4），半徑為2的圓上，再由點到直線的距離公式，設(shè)出直線y=kx+t，求得t，m的關(guān)系式，由直線y=kx+t與在圓心為（0，4），半徑為2的圓相交，解不等式即可得到m的范圍．

解答 解：設(shè)直線l：y=kx+m，由l與單位圓x²+y²=1恒相切，
可得$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，即1+k²=m²，
設(shè)P（a，b），則$\overrightarrow{PA}$=（-2-a，2-b），$\overrightarrow{PB}$=（2-a，6-b），
由①可得（-2-a）（2-a）+（2-b）（6-b）=-4，
化簡可得a²+b²-8b+12=0，
即有P在圓心為（0，4），半徑為2的圓上，
設(shè)到直線l的距離為1的直線為y=kx+t，
可得$\frac{|t-m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
將1+k²=m²，代入上式，可得|t-m|=|m|，
解得t=0或2m．
當(dāng)t=0時，由題意可得直線y=kx與圓心為（0，4），半徑為2的圓相交，
即有1＜$\frac{4}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$＜2，即為|m|＞2，解得m＞2或m＜-2；
當(dāng)t=2m時，由題意可得直線y=kx+2m與圓心為（0，4），半徑為2的圓相交，
即有$\frac{|2m-4|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$＜2，即為|m|＞|m-2|，解得m＞1．
綜上可得m＞1或m＜-2．
故答案為：（-∞，-2）∪（1，+∞）．

點評 本題考查直線和圓的位置關(guān)系：相交和相切，同時考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查運算能力，屬于中檔題．