Question

1．設(shè)關(guān)于某產(chǎn)品的明星代言費(fèi)x（百萬元）和其銷售額y（百萬元），有如表的統(tǒng)計(jì)表格：

i	1	2	3	4	5	合計(jì)
xi（百萬元）	1.26	1.44	1.59	1.71	1.82	7.82
wi（百萬元）	2.00	2.99	4.02	5.00	6.03	20.04
yi（百萬元）	3.20	4.80	6.50	7.50	8.00	30.00
$\overline{x}$=1.56，$\overline{w}$=4.01，$\overline{y}$=6，$\sum_{i=1}^{5}$xiyi=48.66，$\sum_{i=1}^{5}$wiyi=132.62，$\sum_{i=1}^{5}$（xi-$\overline{x}$）2=0.20，$\sum_{i=1}^{5}$（wi-$\overline{w}$）2=10.14

其中${ω_i}=x_i^3（i=1，2，3，4，5）$．
（1）在坐標(biāo)系中，作出銷售額y關(guān)于廣告費(fèi)x的回歸方程的散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖指出：y=a+blnx，y=c+dx³哪一個(gè)適合作銷售額y關(guān)于明星代言費(fèi)x的回歸類方程（不需要說明理由）；
（2）已知這種產(chǎn)品的純收益z（百萬元）與x，y有如下關(guān)系：x=0.2y-0.726x（x∈[1.00，2.00]），試寫出z=f（x）的函數(shù)關(guān)系式，試估計(jì)：當(dāng)明星代言費(fèi)x在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，純收益z隨明星代言費(fèi)z的增加而增加？（以上計(jì)算過程中的數(shù)據(jù)統(tǒng)一保留到小數(shù)點(diǎn)第2位）
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（u₁，v₁），（u₂，v₂），…，（u_n，v_n），其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)值為：$\widehat{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{u}_{i}{v}_{i}-n\overline{u}•\overline{v}}{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}-\overline{u}）^{2}}$，$\widehat{α}$=$\overline{v}$-$\widehat{β}$$\overline{u}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，繪制散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖可知，y=c+dx³適合作銷售額y關(guān)于明星代言費(fèi)x的回歸方程；
（2）令ω=x³，則y=c+dω是y關(guān)于ω的線性回歸方程，根據(jù)最小二乘法求得系數(shù)，求得回歸方程，求得z的函數(shù)解析式，求導(dǎo)，利用z′≥0，求得z的單調(diào)遞增區(qū)間，即可求得純收益z隨明星代言費(fèi)z的增加而增加的區(qū)間．

解答 解：（1）散點(diǎn)圖如圖：

根據(jù)散點(diǎn)圖可知，y=c+dx³適合作銷售額y關(guān)于明星代言費(fèi)x的回歸方程．
（2）令ω=x³，則y=c+dω是y關(guān)于ω的線性回歸方程，
所以$\widehathtkyoez$=$\frac{\sum_{i=1}^{5}{ω}_{i}•{y}_{i}-5\overline{ω}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{5}（{ω}_{i}-\overline{ω}）^{2}}$=1.21，$\widehat{c}$=$\overline{y}$-$\overliner6pgyrj$•$\overline{ω}$=1.15，
所以y=1.15+1.21ω=1.15+1.21x³．
z=0.2y-2.904x=0.2（1.15+1.21x³）-2.904x=0.242x³-2.904x+0.23，
令z'=0.726x²-2.904≥0，由x∈（0，300]，解得：200≤x≤300．
估計(jì)：當(dāng)明星代言費(fèi)200≤x≤300百萬元時(shí)，純收益z隨明星代言費(fèi)x的增加而增加．

點(diǎn)評(píng) 本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查利用最小二乘法求回歸直線方程，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的方法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．