Question

13．如圖所示，已知M，N是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1上兩動點(diǎn)，且直線OM與ON的斜率之積為-$\frac{1}{2}$（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OM}$+2$\overrightarrow{ON}$．問：是否存在兩個定點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，使得|PF₁|+|PF₂|為定值．若存在，求F₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 設(shè)出P，M，N的坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)等式建立等式，把M，N代入橢圓方程，整理求得x²+2y²20+4（x₁x₂+2y₁y₂），設(shè)出直線OM，ON的斜率，利用題意可求得x₁x₂+2y₁y₂=0，進(jìn)而求得x²+2y²的值，利用橢圓的定義可推斷出|PF₁|+|PF₂|為定值求得c，則兩定點(diǎn)坐標(biāo)可得．

解答 解：設(shè)P（x，y），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則由$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OM}$+2$\overrightarrow{ON}$，得（x，y）=（x₁，y₁）+2（x₂，y₂），
即x=x₁+2x₂，y=y₁+2y₂，
∵點(diǎn)M，N在橢圓上，所以$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}$=1，
故x²+2y²=（x₁²+4x₂²+4x₁x₂）+2（y₁²+4y₂²+4y₁y₂）=20+4（x₁x₂+2y₁y₂），
設(shè)k_0M，k_ON分別為直線OM，ON的斜率，根據(jù)題意可知k_0Mk_ON=-$\frac{1}{2}$，
∴x₁x₂+2y₁y₂=0，
∴x²+2y²=20，
所以P在橢圓$\frac{{x}^{2}}{20}$+$\frac{{y}^{2}}{10}$=1上；
設(shè)該橢圓的左，右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，
由橢圓的定義可推斷出|PF₁|+|PF₂|為定值，因?yàn)閏=$\sqrt{10}$，
則這兩個定點(diǎn)坐標(biāo)是（-$\sqrt{10}$，0）（$\sqrt{10}$，0）．

點(diǎn)評 本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)．同時考查向量加法的平行四邊形法則，考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．