Question

5．已知函數(shù)f（x）=x²-4ax+2a+6．
（1）若函數(shù)f（x）有零點，求實數(shù)a的范圍；
（2）在（1）的條件下，求g（a）=2-a•|a+3|的值域．

Answer 1

分析 （1）若函數(shù)f（x）有零點，則△=16a²-4（2a+6）＜0，解得答案；
（2）在（1）的條件下，求g（a）=-a²-3a+2，a∈（-1，$\frac{3}{2}$），結合二次函數(shù)的圖象和性質，可得函數(shù)的值域．

解答 解：（1）若函數(shù)f（x）有零點，
則△=16a²-4（2a+6）＜0，
解得：a∈（-1，$\frac{3}{2}$）；
（2）在（1）的條件下，求g（a）=2-a•|a+3|=-a²-3a+2，a∈（-1，$\frac{3}{2}$）；
∵g（a）=-a²-3a+2的圖象是開口朝下，且以直線x=-$\frac{3}{2}$為對稱軸的拋物線，
故當a∈（-1，$\frac{3}{2}$）時，函數(shù)為減函數(shù)，
故當a=-1時，函數(shù)取最大值4，當a=$\frac{3}{2}$時，函數(shù)取最小值-$\frac{19}{4}$，
故g（a）=2-a•|a+3|的值域為（-$\frac{19}{4}$，4）

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的性質，函數(shù)的零點，函數(shù)的值域，難度中檔．