Question

4．已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）的圖象在y軸上的截距為1，且它在右側(cè)的第一個最大值點為（2，$\sqrt{2}$）．求函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析 由題意可得A=$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$sin（2ω+φ）=$\sqrt{2}$，解得：sin（2ω+φ）=1，①由$\sqrt{2}$sinφ=1，解得φ=$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$，討論由①解得ω=k$π±\frac{π}{8}$，k∈Z②，由T=$\frac{2π}{ω}$＞4，解得：0＜$ω＜\frac{π}{2}$或0＜ω＜π，從而解得ω，φ的值，即可求得解析式．

解答 解：∵在右側(cè)的第一個最大值點為（2，$\sqrt{2}$）．
∴A=$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$sin（2ω+φ）=$\sqrt{2}$，解得：sin（2ω+φ）=1，①
∵函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）的圖象在y軸上的截距為1，
∴函數(shù)圖象過（0，1），
∴$\sqrt{2}$sinφ=1，
∵0＜φ＜2π，
∴φ=$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$，
∴由①可得：sin（2ω+$\frac{π}{4}$）=1，或sin（2ω+$\frac{3π}{4}$）=1，解得：ω=k$π±\frac{π}{8}$，k∈Z②，
∵由題意可得：T=$\frac{2π}{ω}$＞2（2-0）=4，或$\frac{2π}{ω}$＞2，解得：0＜$ω＜\frac{π}{2}$，0＜ω＜π
∴由②解得：ω=$\frac{π}{8}$或$\frac{7π}{8}$，故φ=$\frac{π}{4}$，
∴函數(shù)的解析式為：y=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$）或y=$\sqrt{2}$sin（$\frac{7π}{8}$x+$\frac{π}{4}$）．

點評 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了分類討論思想的應(yīng)用，屬于基本知識的考查．